Sommaire
Introduction
Dans la recherche que nous conduisons, il y a beaucoup de techniques, et la méthode qui coordonne ces techniques est tout sauf agnostique. Ce qui nous motive tous est l’extraction de la physique de nos mesures.
Le problème qui unit l’ingénieur et le chercheur réside dans cette image du monde que nous transmettent nos mesures car elle n’est jamais exempte de biais qui peuvent jusqu’à empêcher parfois l’extraction de la moindre information physique. Les moyens permettant de diminuer les biais des observations diffèrent en général en fonction des objectifs :
- lorsque l’on connaît précisément les phénomènes physiques en jeu, il est possible d’introduire la physique en tant que régularisation de l’identification de la transformation ; cette technique est très utilisée en mécanique des solides ;
- lorsque l’on cherche à comprendre les mécanismes régissant les phénomènes, il est plus délicat de régulariser en se servant de la physique régissant les phénomènes, car celle‐ci n’est pas toujours connue ; de plus, la notion de matériau peut laisser place à une structure mécanique en fonction de l’échelle avec laquelle on regarde (en mécanique, la notion de structure est relative à des matériaux de type hétérogène, ou d’un ensemble de matériaux assemblés).
Le Laboratoire de mécanique de Lille, comme beaucoup d’autres, s’intéresse particulièrement aux mécanismes, que ce soit en tribologie, turbulence de paroi ou en mécanique des matériaux, le fil rouge de ce qui est présenté ici est cette volonté de se plier aux exigences des mécanismes.
Platon a défini dans le livre VII de La République, une distinction entre le monde du sensible et le monde des idées : le monde du sensible ne serait que la projection du monde des idées, qui nous apparaîtrait déformé par notre propre nature ; ce monde du sensible est par essence ce que nous pouvons imager, sentir.
Je considère que le travail premier d’un scientifique qui met en œuvre de l’expérimental est de savoir analyser les images des phénomènes observés pour ensuite essayer d’accéder au monde des idées. Ce point se heurte toujours au problème de la fidélité de ce que l’on observe par rapport à l’idée qui gouverne le phénomène. Le lecteur pourra se référer à l’allégorie de la caverne afin de bien illustrer ce propos.
Tout l’enjeu du scientifique est donc d’être capable d’avoir des images du monde sensible en connaissant les inexactitudes qui y sont attachées afin de pouvoir se faire une idée de ce qui en est la cause la plus probable.
Le monde de l’imagerie numérique nous donne accès à l’observation de l’hétérogénéité des phénomènes et nous permet de remettre en cause ce qui n’était observable jadis que par la variation durant le temps d’une ou plusieurs quantités ponctuelles. En tant que mécanicien, je me limiterai à l’étude des conséquences de la mise en mouvement de la matière, nous verrons dans une prochaine dépêche que, malgré cette limitation, le champ d’application de l’utilisation de l’imagerie avec le miroir de la mécanique permet d’étudier une grande diversité de sujets et d’accéder à une meilleure compréhension des phénomènes en jeu.
Nous traiterons ici de données qui ne sont pas toutes directement associables à des lois a priori, de part la complexité des systèmes observés. Les outils que nous développons s’inscrivent donc dans une logique kantisée, mais elle se heurte malheureusement à également l’opposition des conatus des scientifiques.
Pour faire simple, les méthodes numériques généralistes présentées ici peuvent être utilisées pour appuyer les idées de scientifiques plutôt d’obédience rationaliste mais peuvent tout aussi bien être utilisées par des expérimentateurs plus portés sur l’empirisme. Cette unité de méthode n’empêche pas que les choix techniques (bien qu’appartenant tous au cadre présenté dans cet article) conduiraient à une épistémologie radicalement différente des analyses scientifiques menées par ces deux groupes sur un même objet d’étude.
Il convient donc de mettre en place une dialectique expérimentale propre à chaque problème traité.
Comment approcher ou établir une loi ou idée le plus justement possible ?
Au‐delà des problèmes de biais associés à toute mesure physique, se pose la question du but même de la mesure. Il y a, d’une part, les rationalistes, qui considèrent que toute idée doit être cause ou conséquence d’un enchaînement d’idées rationnelles ; ils chercheront donc à se servir de l’expérimental pour s’approcher de leur loi au travers d’une paramétrisation ad hoc ; et, d’autre part, les empiristes, qui considèrent que toute connaissance prend source dans une expérience sensible, qui chercheront eux à construire des lois au travers de ces observations. À ce titre, je trouve intéressante la citation de Pierre Duhem : « Une loi de physique n’est, à proprement parler, ni vraie ni fausse, mais approchée. » (Traité d’énergétique, 1911), car elle nous permet de discriminer ces courants de pensée expérimentale.
L’analyse d’image en mécanique ne fait pas exception à cette dualité : il nous arrivera de mettre beaucoup d’_a priori dans la mesure elle‐même, la contraignant ainsi à se plier à notre vue, mais il sera aussi utile de trouver comment ne pas mettre du tout de physique dans la mesure, pour pouvoir construire nos idées. Ainsi, je présenterai dans cet article des approches que nous avons mises au point permettant d’utiliser la mécanique pour extraire au mieux une physique inaccessible sans cette dernière, telle que la corrélation d’images numériques (Digital Image Correlation, DIC) et la Particule Image Velocimetry (PIV), mais également des méthodes innovantes permettant la réjection de solutions aberrantes, telles que la régularisation par filtre médian dans le processus de DIC.
Recalage d’images et flot optique
Que ce soit en analyse d’image ou en mécanique, les techniques se réclamant du flot optique (ou flux optique) sont légion. Le flot optique recouvre énormément de techniques différentes. Beaucoup d’auteurs ont déjà fait des états des lieux de ces techniques (Galvin et al., 1998_, Corpetti et al., 2006_, Baker & Matthews, 2004_), cet article ne sera donc pas une nouvelle revue des techniques déterminant le flot optique. Il n’est cependant pas possible de comprendre les idées qui ont été développées sans situer le flot optique dans ce qui se fait dans la communauté.
Il me semble cependant plus intéressant d’aborder la présentation de ces démarches au travers du concept de recalage d’images qui est un canevas plus général que celui du flot optique.
Il existe plusieurs méthodes utilisées pour recaler des images, certaines se basent sur l’intensité lumineuse de l’image, d’autres cherchent à détecter l’écart informations de type géométrique (c.‐à‐d. la distance), d’autres encore se situent à mi‐chemin et sont appelées « iconiques ». Une classification a été donnée par Cachier et al., 2003, elle sera utilisée.
Principes théoriques du recalage d’images, PIV et corrélation d’images numériques
Le recalage d’images basé sur l’intensité des niveaux de gris est une technique permettant d’apparier des images entre elles au travers d’une transformation. Cette technique est indispensable dans deux domaines : la création de vues panoramiques à partir de plusieurs prises d’images et l’analyse d’images médicales. Nous allons aborder le second point, plus complexe, car il entraîne une description plus générale. Le recalage d’images médicales a pour but de pouvoir comparer deux images de modalités différentes entre elles ou de comparer plusieurs patients entre eux.
La DIC (Digital Image Correlation) consiste à placer une caméra devant un essai (traction, compression, flexion, multi‐axial) où l’on ajoute une texture aléatoire.
La PIV (Particule Image Velocimetry, vélocimétrie par image de particules) consiste à rajouter des particules dans un écoulement (soufflerie, cavité entraînée…) et à les éclairer avec une nappe laser afin de les filmer.
Ces deux techniques ont pour objectif exclusif d’identifier les transformations.
Comme ces méthodes sont basées sur la comparaison de deux images, il convient tout d’abord de savoir comment effectuer une telle comparaison.
Prenons par exemple le cas d’une image d’un patient prise par un IRM et par un scanner. L’IRM repose sur le contraste de résonance magnétique nucléaire alors que le scanner repose sur un contraste d’atténuation des matériaux que traversent les rayons X. Il y a donc peu de chances que les constituants du corps du patient réagissent de la même manière avec ces deux modalités différentes. Ces images ne peuvent donc pas être recalées via le flot optique, il faudra pour garder l’heuristique du recalage trouver un moyen de comparer ces images, ce qui sera introduit par la suite par la notion de métriques.
Là encore, beaucoup a déjà été écrit à ce sujet mais un point d’entrée intéressant se trouve dans l’article de Wachinger et Navab (2010) qui illustre de manière très pédagogique pourquoi une métrique telle que celle utilisée dans le milieu de la mécanique ne peut pas fonctionner dans ce cas précis. Nous allons nous placer dans un canevas développé par Insight Tool Kit (ITK) introduit dans (Yoo et al., 2002), détaillé dans le manuel d’utilisation (Ibanez et al., 2005), et utilisé dans le logiciel de recalage ElastiX (Klein et al., 2010). Cette démarche est présentée en figure 1 :
Figure 1 : Principe du recalage d’image ITK et Elastix
Par convention, on appellera l’image fixe, l’image de référence, et l’image mobile, l’image que l’on souhaite recaler par rapport à cette référence. Le principe est donc le suivant :
L’image mobile est recalée par rapport à l’image fixe au travers d’une transformation. Pour identifier au mieux cette transformation, plusieurs étapes sont nécessaires. Il faut tout d’abord définir une métrique qui permettra de comparer les deux images. Cette métrique a comme variables d’entrée un type de transformation (Transformation) (rigide, affine similitude, B‐Spline…), l’image fixe et l’image mobile. Il faut ensuite choisir une stratégie d’optimisation (Optimiseur) dans l’algorithme du gradient (Cauchy, 1847), comme la Méthode du point col, Newton, gradient conjugué… Il est également possible de ne pas évaluer la fonctionnelle (métrique) sur toute l’image mais sur un certain nombre de points (échantillonnage) aléatoire, sur une grille ou total. Enfin, il faut appliquer la transformation à l’image mobile et ce à chaque itération, ce qui nécessite un interpolateur.
Les techniques de type Besnard et al., 2006, Réthoré et al., 2007a, reposent également sur ce schéma mais ne sont qu’un cas particulier, ce qui sera détaillé par la suite.
Le problème à résoudre se met en équation comme présenté :
Dans cette équation : <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu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%0APC9zdmc+%0A" alt="\mathcal{C}"> est la métrique, <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu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%0AV0VCTUFJTkktM0JDIj48L3VzZT48L2c+PC9zdmc+%0A" alt="{T}_{\mu}"> la transformation paramétrée par <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu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%0AZWY9IiNTVElYV0VCTUFJTkktM0JDIj48L3VzZT48L2c+PC9zdmc+%0A" alt="\mu">, <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu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%0APjwvZz48L3N2Zz4=%0A" alt="\mathcal{I_F}"> l’image fixe et <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu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%0AWFdFQlZBUklBTlRTSS1FMjM5Ij48L3VzZT48L2c+PC9zdmc+%0A" alt="\mathcal{I_M}"> l’image mobile.
Rappelons que :
où <img style="display: inline; max-height: 1em;" class="mathjax" src="data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxuczp4bGluaz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMTk5OS94bGlu%0AayIgc3R5bGU9IndpZHRoOiA3LjE0M2V4OyBoZWlnaHQ6IDNleDsgdmVydGlj%0AYWwtYWxpZ246IC0xZXg7IG1hcmdpbi10b3A6IDFweDsgbWFyZ2luLXJpZ2h0%0AOiAwcHg7IG1hcmdpbi1ib3R0b206IDFweDsgbWFyZ2luLWxlZnQ6IDBweDsg%0AcG9zaXRpb246IHN0YXRpYzsgIiB2aWV3Qm94PSIwIC04OTEuMjU4MTIzMjU1%0AMTU0OSAzMDU2IDEyODIuNTE2MjQ2NTEwMzA5OSIgeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93%0Ad3cudzMub3JnLzIwMDAvc3ZnIj48ZGVmcyBpZD0iTWF0aEpheF9TVkdfZ2x5%0AcGhzIj48cGF0aCBpZD0iU1RJWFdFQlNJWkUxLTdCIiBzdHJva2Utd2lkdGg9%0AIjEwIiBkPSJNNDY2IC0xMzZ2LTI4Yy0xMzIgMTYgLTIxOSA5OCAtMjE5IDI3%0AN3YxNjhjMCA1OSAtNDIgMTQ2IC0xMzMgMTYwdjIxYzkxIDEzIDEzMyAxMDEg%0AMTMzIDE2MHYxNjhjMCAxNzkgODcgMjYwIDIxOSAyNzZ2LTI4Yy04OCAtMTQg%0ALTE0MiAtNzggLTE0MiAtMTQ1YzAgLTIwIDUgLTEyNyA1IC0xMzV2LTg5YzAg%0ALTk4IC00OSAtMTc1IC0xNjMgLTIxN3YtMmMxMTQgLTQyIDE2MyAtMTE4IDE2%0AMyAtMjE2di04OWMwIC04IC01IC02OSAtNSAtMTM2IHM0MCAtMTIwIDE0MiAt%0AMTQ1WiI+PC9wYXRoPjxwYXRoIGlkPSJTVElYV0VCTUFJTi0zQTYiIHN0cm9r%0AZS13aWR0aD0iMTAiIGQ9Ik00MzIgNTgwdi0yMGMxMzkgMCAyOTYgLTY0IDI5%0ANiAtMjMwYzAgLTE1OCAtMTYxIC0yMjcgLTI3MSAtMjI3aC0yNXYtMTdjMCAt%0ANTQgMzIgLTYzIDEwMyAtNjd2LTE5aC0zMDZ2MTljNjYgMCAxMDEgMTUgMTAx%0AIDY2djE4aC0xN2MtMTg4IDAgLTI3OCA5NiAtMjc4IDIyN2MwIDE2NiAxNTMg%0AMjMwIDI5NSAyMzB2MjBjMCA0NSAtMTUgNjMgLTEwMSA2M3YxOWgzMDZ2LTE5%0AYy04NyAwIC0xMDMgLTIyIC0xMDMgLTYzek00MzAgNTIzdi0zODMgYzkzIDAg%0AMTg5IDY1IDE4OSAxNzhjMCA5NyAtNjAgMjA1IC0xODkgMjA1ek0zMzIgMTQw%0AdjM4M2MtMTExIDAgLTE4OCAtMTA3IC0xODggLTIwNWMwIC05NCA2NyAtMTc4%0AIDE4OCAtMTc4WiI+PC9wYXRoPjxwYXRoIGlkPSJTVElYV0VCTUFJTi0yOCIg%0Ac3Ryb2tlLXdpZHRoPSIxMCIgZD0iTTMwNCAtMTYxbC0xMiAtMTZjLTE1OCA5%0AMCAtMjQ0IDI1OSAtMjQ0IDQyOWMwIDE4NSA4NyAzMjkgMjQ3IDQyNGw5IC0x%0ANmMtMTM5IC0xMTkgLTE3MCAtMjEyIC0xNzAgLTQwNWMwIC0xODYgMzAgLTI5%0AOSAxNzAgLTQxNloiPjwvcGF0aD48cGF0aCBpZD0iU1RJWFdFQk1BSU5JLTc4%0AIiBzdHJva2Utd2lkdGg9IjEwIiBkPSJNMjQzIDM1NWwxMiAtNTdjNzAgMTA3%0AIDEwNyAxNDMgMTUxIDE0M2MyNCAwIDQxIC0xNSA0MSAtMzdjMCAtMjEgLTE0%0AIC0zNiAtMzQgLTM2Yy0xOSAwIC0yOCAxNyAtNTIgMTdjLTE4IDAgLTU0IC00%0ANCAtOTggLTEyMWMwIC03IDIgLTIxIDggLTQ1bDMyIC0xMzRjNyAtMjggMTYg%0ALTQxIDMwIC00MWMxMyAwIDI0IDEwIDQ3IDQwYzkgMTIgMTMgMTggMjEgMjhs%0AMTUgLTljLTU4IC05MCAtODQgLTExNCAtMTIyIC0xMTQgYy0zMiAwIC00NyAx%0AOCAtNTkgNjhsLTI5IDExOWwtODggLTExOWMtNDQgLTU5IC02NCAtNjggLTk1%0AIC02OHMtNTAgMTYgLTUwIDQyYzAgMjAgMTQgMzYgMzQgMzZjOSAwIDE5IC00%0AIDMyIC0xMWMxMCAtNiAyMCAtOSAyNiAtOWMxMSAwIDMwIDE5IDUxIDQ5bDgy%0AIDExNmwtMjggMTI0Yy0xNCA2MCAtMjEgNjggLTQ2IDY4Yy04IDAgLTIwIC0y%0AIC0zOSAtN2wtMTggLTVsLTMgMTZsMTEgNGM2MSAyMiA5NCAyOSAxMTcgMjkg%0AYzI1IDAgMzcgLTE4IDUxIC04NloiPjwvcGF0aD48cGF0aCBpZD0iU1RJWFdF%0AQk1BSU4tMjkiIHN0cm9rZS13aWR0aD0iMTAiIGQ9Ik0yOSA2NjBsMTIgMTZj%0AMTUzIC05MiAyNDQgLTI1OSAyNDQgLTQyOWMwIC0xODUgLTg4IC0zMjcgLTI0%0ANyAtNDI0bC05IDE2YzE0MiAxMTcgMTcwIDIxMSAxNzAgNDA1YzAgMTg3IC0y%0ANSAzMDIgLTE3MCA0MTZaIj48L3BhdGg+PHBhdGggaWQ9IlNUSVhXRUJTSVpF%0AMS03RCIgc3Ryb2tlLXdpZHRoPSIxMCIgZD0iTTQ2MSA0NjF2LTIxYy05MSAt%0AMTMgLTEzMyAtMTAxIC0xMzMgLTE2MHYtMTY4YzAgLTE3OSAtODcgLTI2MCAt%0AMjE5IC0yNzZ2MjhjODggMTQgMTQyIDc4IDE0MiAxNDVjMCAyMCAtNSAxMjcg%0ALTUgMTM1djg5YzAgOTggNDkgMTc1IDE2MyAyMTd2MmMtMTE0IDQyIC0xNjMg%0AMTE4IC0xNjMgMjE2djg5YzAgOCA1IDY5IDUgMTM2cy00MCAxMjAgLTE0MiAx%0ANDV2MjhjMTMyIC0xNiAyMTkgLTk4IDIxOSAtMjc3di0xNjggYzAgLTU5IDQy%0AIC0xNDYgMTMzIC0xNjBaIj48L3BhdGg+PC9kZWZzPjxnIHN0cm9rZT0iYmxh%0AY2siIGZpbGw9ImJsYWNrIiBzdHJva2Utd2lkdGg9IjAiIHRyYW5zZm9ybT0i%0AbWF0cml4KDEgMCAwIC0xIDAgMCkiPjx1c2UgaHJlZj0iI1NUSVhXRUJTSVpF%0AMS03QiIgeD0iMCIgeT0iLTIwMSIgeGxpbms6aHJlZj0iI1NUSVhXRUJTSVpF%0AMS03QiI+PC91c2U+PHVzZSBocmVmPSIjU1RJWFdFQk1BSU4tM0E2IiB4PSI1%0AODAiIHk9IjAiIHhsaW5rOmhyZWY9IiNTVElYV0VCTUFJTi0zQTYiPjwvdXNl%0APjx1c2UgaHJlZj0iI1NUSVhXRUJNQUlOLTI4IiB4PSIxMzQ4IiB5PSIwIiB4%0AbGluazpocmVmPSIjU1RJWFdFQk1BSU4tMjgiPjwvdXNlPjx1c2UgaHJlZj0i%0AI1NUSVhXRUJNQUlOSS03OCIgeD0iMTY4NiIgeT0iMCIgeGxpbms6aHJlZj0i%0AI1NUSVhXRUJNQUlOSS03OCI+PC91c2U+PHVzZSBocmVmPSIjU1RJWFdFQk1B%0ASU4tMjkiIHg9IjIxMzgiIHk9IjAiIHhsaW5rOmhyZWY9IiNTVElYV0VCTUFJ%0ATi0yOSI+PC91c2U+PHVzZSBocmVmPSIjU1RJWFdFQlNJWkUxLTdEIiB4PSIy%0ANDc2IiB5PSItMjAxIiB4bGluazpocmVmPSIjU1RJWFdFQlNJWkUxLTdEIj48%0AL3VzZT48L2c+PC9zdmc+%0A" alt="\left \{\Phi(x)\right \}"> est le vecteur des transformations comme elles seront détaillées par la suite.
Ces méthodes étant basées sur un algorithme d’optimisation de descente suivant le gradient, elles peuvent converger vers un résultat faux car le résultat est un minimum local de la fonction objectif (métrique). Pour régler ce problème, une technique de résolution pyramidale est employée, comme l’illustre la figure 2 :
Figure 2 : Principe de l’approche pyramidale, une transformation sur une image très moyennée est trouvée, puis interpolée pour être appliquée en initialisation de l’échelle plus résolue suivante, et ce, jusqu’à la dernière échelle.
Nous allons détailler quelques points importants du cadre utilisé ici.
Métrique C
Ce qui est appelé ici « métrique », ne correspond pas à la définition mathématique, car il ne satisfait pas les critères imposés pour la définition d’une distance. Il serait plus exacte de l’appeler fonction objectif, mais la communauté du recalage d’image a choisi ce terme, aussi il sera conservé ici. La littérature en compte tellement qu’il est impossible d’en faire une liste exhaustive. Celles‐ci se classent dans deux catégories distinctes, les méthodes statistiques basées sur des probabilités jointes et les méthodes directes. Dans les méthodes directes il faut être en mesure de postuler d’un lien entre les évolutions des niveaux de gris de l’image fixe et ceux de l’image mobile. Par exemple, si le flot optique est conservé entre deux images alors la métrique naturelle est l’erreur quadratique moyenne. S’il y a une relation affine entre l’évolution des niveaux de gris des deux images, alors la métrique naturelle est l’inter‐corrélation normalisée. S’il n’y a pas de relation triviale entre les évolutions de niveaux de gris, alors il faut construire une relation propre à la paire d’images étudiée au travers d’une métrique de type statistique comme l’information mutuelle. Les paragraphes suivants présentent quelques‐unes des métriques utilisées en recalage d’images médicales et applicables dans tous les domaines.
Erreur quadratique moyenne (C=SSD)
L’erreur quadratique moyenne (ou Sum of Squared Differences, SSD aussi appelée mean squared error) correspond à un problème au moindre carré présenté par l’équation suivante :
Figure 1 : Principe du recalage d’image ITK et Elastix
Figure 2 : Principe de l’approche pyramidale, une transformation sur une image très moyennée est trouvée, puis interpolée pour être appliquée en initialisation de l’échelle plus résolue suivante, et ce, jusqu’à la dernière échelle.
